如何计算数学期望值

数学期望值是一个在概率和统计学中非常重要的概念，它反映了随机变量取值的平均水平。简单来说，它是所有可能结果乘以其相应概率的总和。

计算方法

1. 离散型随机变量的期望值计算

设离散型随机变量 ⁄( x ⁄) 可能取值为 ⁄( x_1,x_2,⁄cdots,x_n ⁄)，对应的概率分别为 ⁄( p_1,p_2,⁄cdots,p_n ⁄)，则其期望值 ⁄( e(x)=⁄sum_{i = 1}^{n}x_ip_i ⁄)。

例如，抛一枚均匀的骰子，设 ⁄( x ⁄) 表示骰子出现的点数。那么 ⁄( x ⁄) 可能取值为 ⁄( 1,2,3,4,5,6 ⁄)，且每个取值的概率 ⁄( p_i=⁄frac{1}{6} ⁄)。

则 ⁄( e(x)=1⁄times⁄frac{1}{6}+2⁄times⁄frac{1}{6}+3⁄times⁄frac{1}{6}+4⁄times⁄frac{1}{6}+5⁄times⁄frac{1}{6}+6⁄times⁄frac{1}{6}=⁄frac{1 + 2+3+4+5+6}{6}=⁄frac{21}{6}=3.5 ⁄)。

2. 连续型随机变量的期望值计算

对于连续型随机变量 ⁄( x ⁄)，其概率密度函数为 ⁄( f(x) ⁄)，则期望值 ⁄( e(x)=⁄int_{-⁄infty}^{⁄infty}xf(x)dx ⁄)。

例如，设随机变量 ⁄( x ⁄) 的概率密度函数为 ⁄( f(x)=⁄begin{cases}2x, & 0⁄leq x⁄leq1 ⁄⁄ 0, & ⁄text{其他}⁄end{cases} ⁄)。

则 ⁄( e(x)=⁄int_{0}^{1}x⁄cdot2xdx=⁄int_{0}^{1}2x^2dx=⁄frac{2}{3}x^3⁄big|_0^1=⁄frac{2}{3} ⁄)。

实例解析

假设有一个抽奖活动，抽奖箱中有 10 个球，其中 1 个红球，3 个黄球，6 个白球。抽到红球奖金 100 元，抽到黄球奖金 50 元，抽到白球无奖金。设 ⁄( x ⁄) 表示抽奖获得的奖金数。

⁄( x ⁄) 的可能取值为 ⁄( 100,50,0 ⁄)。

⁄( p(x = 100)=⁄frac{1}{10} ⁄)，⁄( p(x = 50)=⁄frac{3}{10} ⁄)，⁄( p(x = 0)=⁄frac{6}{10} ⁄)。

则 ⁄( e(x)=100⁄times⁄frac{1}{10}+50⁄times⁄frac{3}{10}+0⁄times⁄frac{6}{10}=10 + 15+0 = 25 ⁄)（元）。

通过这个实例可以看出，数学期望值帮助我们了解抽奖这种随机行为平均能获得的奖金水平。